Black-Scholes: como funciona esse modelo de precificação?

O modelo Black-Scholes é uma fórmula matemática utilizada para calcular o preço teórico de uma opção, um tipo de contrato financeiro. Ele ajuda investidores a determinar o valor justo de uma opção de compra ou venda, levando em conta fatores como o preço atual do ativo subjacente, o preço de exercício da opção, o tempo até o vencimento, a volatilidade do ativo e a taxa de juros sem risco.

A fórmula foi desenvolvida por Fischer Black e Myron Scholes, e seu objetivo principal é ajudar a minimizar riscos e maximizar ganhos no mercado financeiro. Utilizando este modelo, portanto, investidores conseguem tomar decisões mais informadas sobre se devem comprar ou vender opções.

Entenda como funciona esse modelo de precificação na matéria.

O que é o modelo Black-Scholes?

O modelo Black-Scholes, desenvolvido pelos economistas norte-americanos Fischer Black e Myron Scholes em 1973, é uma fórmula matemática fundamental para a precificação de opções financeiras. Assim, este modelo revolucionou a forma como as opções são avaliadas e negociadas no mercado, sendo amplamente utilizado até hoje, especialmente para opções do tipo europeia, que podem ser exercidas apenas na data de vencimento.

A fórmula Black-Scholes calcula o preço teórico da opção com base nas variáveis mencionadas. A volatilidade é um dos fatores mais críticos; quanto maior a volatilidade, maior a probabilidade de a opção ser exercida, elevando seu preço.

O modelo assume que os preços dos ativos seguem um processo estocástico conhecido como movimento browniano geométrico, o que implica que os preços podem variar aleatoriamente ao longo do tempo, mas dentro de uma distribuição normal.

Premissas do Modelo

Para aplicar o modelo Black-Scholes, algumas premissas devem ser consideradas:

• Os preços dos ativos seguem uma distribuição log-normal.
• Não há custos de transação ou impostos.
• O mercado é eficiente e não permite arbitragem.
• Todos os investidores têm acesso à mesma informação e condições de taxa livre de risco.

Essas premissas ajudam a simplificar o cálculo e a aplicação do modelo, embora também sejam fontes de críticas, especialmente em situações de mercado volátil ou em eventos extremos.

O modelo Black-Scholes é uma ferramenta essencial para investidores e analistas financeiros. Ele permite que os participantes do mercado determinem se as opções estão sobrevalorizadas ou subvalorizadas em relação ao seu preço teórico.

Apesar das suas limitações e críticas, como a suposição de volatilidade constante e a incapacidade de prever eventos extremos, entretanto, continua sendo um dos modelos mais influentes na teoria financeira moderna.

Como funciona o modelo Black-Scholes?

O modelo Black-Scholes funciona ao calcular o preço teórico de uma opção de compra ou venda de um ativo, como ações. Desse modo, ele considera cinco fatores principais:

• Preço atual do ativo subjacente: O valor de mercado do ativo sobre o qual a opção é baseada.
• Preço de exercício: O preço pelo qual a opção pode ser exercida no futuro.
• Tempo até o vencimento: O período até a data em que a opção expira.
• Volatilidade do ativo: A medida de quanto o preço do ativo oscila ao longo do tempo.
• Taxa de juros sem risco: A taxa de retorno de um investimento considerado livre de risco, como títulos do governo.

Usando esses fatores, o modelo Black-Scholes calcula o valor justo de uma opção. Assim, esse cálculo ajuda investidores a tomar decisões mais informadas sobre compra ou venda de opções, ao fornecer uma estimativa do preço que a opção deve ter com base em condições de mercado atuais.

Qual é a fórmula Black-Scholes?

A fórmula de Black-Scholes é uma equação matemática fundamentalmente utilizada no mercado financeiro para determinar o preço justo de uma opção. Uma opção é um tipo de derivativo financeiro que dá ao seu detentor o direito, mas não a obrigação, de comprar ou vender um ativo subjacente (como uma ação) a um preço predeterminado (preço de exercício) em uma data futura específica (data de vencimento).

Você não precisa ser um economista para usar a fórmula. Embora a fórmula completa de Black-Scholes seja bastante complexa e envolva cálculos de integrais e distribuições normais, podemos apresentar uma versão simplificada para facilitar a compreensão:

Preço da opção = f(S, K, T, r, σ)

Onde:

f: Representa uma função matemática complexa que relaciona todas as variáveis.
S: Preço atual do ativo subjacente.
K: Preço de exercício da opção.
T: Tempo até o vencimento da opção.
r: Taxa livre de risco.
σ: Volatilidade do ativo subjacente.

Veja o que cada variável significa.

• Preço atual do ativo subjacente (S): O preço atual da ação, por exemplo, que a opção está vinculada.
• Preço de exercício (K): O preço pré-determinado ao qual o ativo pode ser comprado ou vendido.
• Tempo até o vencimento (T): O período de tempo restante até a data em que a opção expira.
• Taxa livre de risco (r): A taxa de retorno de um investimento sem risco, como um título do governo.
• Volatilidade (σ): A medida da variação do preço do ativo subjacente ao longo do tempo.

A fórmula de Black-Scholes revolucionou o mercado de opções, proporcionando uma base teórica sólida para a precificação desses instrumentos financeiros. Sendo assim, ela é amplamente utilizada por traders, gestores de fundos e outras instituições financeiras para avaliar o preço justo de uma opção, gerenciar riscos e construir estratégias de investimento.

Limitações da fórmula

Apesar de sua importância, a fórmula de Black-Scholes possui algumas limitações. Ela assume algumas hipóteses que podem não se ajustar perfeitamente à realidade do mercado, como a distribuição log-normal dos retornos do ativo subjacente e a constância da volatilidade.

A fórmula completa é bastante complexa e exige conhecimentos avançados de matemática e estatística. Ademais. ela também não considera todos os fatores que podem influenciar o preço de uma opção, como custos de transação, dividendos e outros eventos corporativos.

Qual é a origem do modelo Black-Scholes?

O modelo Black-Scholes tem origem no campo das finanças matemáticas e foi criado para calcular o preço justo de opções financeiras. Ele foi desenvolvido por Fischer Black, Myron Scholes e, mais tarde, aperfeiçoado por Robert Merton, que introduziu ajustes importantes ao modelo inicial.

A ideia começou a tomar forma no final da década de 1960, quando Black e Scholes tentavam encontrar uma fórmula para precificar opções de compra (calls) e venda (puts). Assim, em 1973, eles publicaram o artigo pioneiro intitulado “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”. Esse trabalho apresentou uma equação diferencial que revolucionou o mercado financeiro ao oferecer uma metodologia prática para a precificação de derivativos.

O modelo baseia-se em vários pressupostos, como o comportamento log-normal dos preços dos ativos e a inexistência de arbitragem. Apesar de suas limitações, ele se tornou um marco na teoria financeira e ganhou ainda mais reconhecimento quando Robert Merton e Myron Scholes receberam o Prêmio Nobel de Economia em 1997 (Fischer Black já havia falecido e, por isso, não foi premiado).

Esse avanço transformou o mercado de capitais, permitindo, portanto, que investidores e instituições gerissem melhor os riscos e tomassem decisões mais informadas.

• Leia mais: Agora que já foi introduzido no modelo Black-Sholes, veja o CAPM: como funciona este modelo de precificação de ativos

Fontes: Nelogica, Suno, Oplab, Invius